kennislink.nl maakt nieuwsgierig

“Non fingo hypotheses,” schreef Newton, “ik hoef niets te verzinnen.” Maar zijn formule voor de zwaartekracht, hoe geniaal ook, is letterlijk een schoolvoorbeeld voor de formules die natuurwetenschappers en ingenieurs moeten verzinnen voordat ze kunnen gaan rekenen.

Er is bijna geen beginnen aan. Er bestaan zoveel misverstanden over de betekenis van de wetten van Newton dat het ondoenlijk is ze allemaal uit de weg te ruimen. Als je studenten echter voor de zoveelste keer over ‘behoud van impuls’ struikelen, voel je je verplicht het probleem opnieuw helder onder woorden te brengen. Dus vertelde ik in mijn derdejaarscollege een paar jaar geleden hoe Isaac Newton (1642-1727) er in de tweede helft van de 17e eeuw na tweehonderd jaar gekibbel eindelijk in slaagde fatsoenlijke rekenregels voor de boekhouding van beweging op te stellen. Een van de studenten dat jaar heette Petra. Blauwe ogen, rood haar, brilletje, frêle figuurtje, intens. Ik zag aan haar ogen dat het haar te snel ging. Dus zei ik: “Petra, wat zit je dwars?” Ze antwoordde met de onsterfelijke woorden: “heeft beweging een hoeveelheid?”
Wie precies de juiste vraag weet te stellen, kan zelf ook wel het juiste antwoord verzinnen. Daar hoef je geen Newton, Leibniz of Einstein voor te heten. De moderne natuurkunde ontstond toen de vraag werd gesteld of beweging gekwantificeerd kan worden. Ja, dat kan, en het product van massa en snelheid heeft alle eigenschappen die je zou mogen wensen. Twee stappen verder in het denkproces verzin je zonder blikken of blozen een woord om het idee ‘veranderingstempo van beweging’ kracht bij te zetten; ‘kracht’ bijvoorbeeld.

List

De wetten van Newton verklaren niets. Ze vormen een elegante en consistente receptuur voor de boekhouding van bewegingsverschijnselen – dat is alles. Al heb je keurig afgesproken hoe het kasboek van beweging moet worden bijgehouden en hoe de balans moet worden opgemaakt, dan heb je inhoudelijk nog niets geregeld.
Als je iets wilt ‘verklaren’ – toegankelijk wilt maken voor toetsbaar rekenwerk – heb je naast de boekhoudkundige regels ook inhoudelijke uitspraken nodig. Kan ik een verstandige formule verzinnen voor de zwaartekracht? Hoe sterk is de elektrostatische afstoting? Hoe sleutel ik een formule voor de luchtweerstand van een fietser die met tegenwind te kampen heeft in elkaar? Van welke factoren kan de Lorentzkracht in de windingen van een elektromotor afhankelijk zijn? Voor elke nieuwe situatie moet je weer een nieuwe list verzinnen. Je zou er moedeloos van worden.
De wetten van Newton geven geen antwoord op inhoudelijke vragen naar concrete krachten. Ze bevatten dus ook niets dat de natuurwetenschappen bij elkaar houdt. De verbrokkeling van de exacte vakken wordt veroorzaakt doordat elk vakgebied zijn eigen beschrijvende formules moet verzinnen om het rekenwerk beheersbaar te maken.
Nogmaals: naast het boekhoudkundige probleem lossen de wetten van Newton niets op. Als je concreet rekenwerk wilt doen, moet je eerst de formules verzinnen voor de krachten die van belang zijn. De toverformule voor de zwaartekracht die Newton verzon, was een gouden greep, maar het is en blijft een ad-hocverzinsel, knutselwerk van het soort dat natuurwetenschappers en ingenieurs ook nu nog dagelijks verrichten. Het kan bovendien geen kwaad om goed te onthouden dat de zwaartekracht nog steeds, driehonderd jaar na Newton, de meest mysterieuze kracht in de kosmos is, een kracht nog onbegrijpelijker dan de vreemde krachten die de deeltjes in atoomkernen bij elkaar houden.

Beweging

Nu ter zake. De natuurkunde beperkt zich tot zaken waaraan kan worden gerekend. Het idee ‘beweging’ moet dus een hoeveelheid krijgen. Als een voorwerp sneller gaat, zal het wel meer beweging hebben. Is de hoeveelheid beweging dus evenredig met de snelheid van een voorwerp, v? Waarom niet het kwadraat van v? Helemaal geen stomme vraag: zelfs een beroemde geleerde als Galileo Galileï (1564-1642) is erover gestruikeld. Hij ontdekte dat de krater die een kanonskogel in een zandbak maakt, evenredig is met het kwadraat van de snelheid. Galileï dacht dus dat de hoeveelheid beweging ook evenredig is met het kwadraat van v. Het juiste antwoord is dat alleen een lineair verband – dat wil zeggen rechte evenredigheid en geen kwadratische – de wetten van Newton onafhankelijk maakt van de willekeur van het referentiekader dat je kiest. In een vliegtuig stuitert een tafeltennisbal op precies dezelfde manier als thuis. Dat je ondertussen negenhonderd kilometer per uur vliegt, maakt gelukkig geen enkel verschil.

Impuls

Snelheid is niet de enige factor. Een grote auto bevat meer materie (wat dat ook precies is) dan een kleine. Een grote auto heeft bij dezelfde snelheid dus meer beweging dan een kleine – bij een kettingbotsing kan dat pijnlijk duidelijk worden. De eenvoudigste manier om dit idee vorm te geven is door de hoeveelheid beweging, traditioneel met de letter p aangeduid, evenredig te maken aan de hoeveelheid materie, m. Zo wordt de hoeveelheid beweging gelijk aan het product van m en v: p = mv. In schoolboeken heet p stoot, impuls of traagheid; in Engelse schoolboeken lees je momentum, quantity of motion.

Toestand

Een andere bron van hardnekkige misverstanden rondom de wetten van Newton is dat er in de orthodoxe uitleg geen helder onderscheid wordt gemaakt tussen toestand en proces. Volgens Newton is beweging een toestand die zonder externe invloeden niet kan veranderen. Beweging kan niet vanzelf ontstaan of verdwijnen; er bestaan geen kosmische bronnen of putten voor. Op school wordt dit idee ‘traagheid’ genoemd, een onbegrijpelijke woordkeuze gezien het feit dat het om beweging gaat. Als je het per se een naam wilt geven, noem het dan ‘volharding.’
Gesteund door zijn voorgangers doorbrak Newton de traditie van de school van Aristoteles, waarin beweging verloren ging tenzij ze in stand werd gehouden. De traditie zag beweging als een proces, zoals wanneer je een kar over een zandweg voorttrekt. Die gedachtengang had al eeuwenlang geen werkbare ideeën opgeleverd. Beweging lijkt op een proces, want de plaats van een bewegend voorwerp verandert voortdurend. Maar wat heeft die verandering om het lijf? De Aarde raast met een snelheid van ruim 100.000 kilometer per uur om de Zon, maar je merkt daar niets van, evenmin wanneer je met 900 kilometer per uur naar New York vliegt. Je merkt pas iets wanneer de bewegingstoestand verandert, wanneer het vliegtuig waarin je reist, versnelt of vertraagt, of wanneer het een bocht inzet.
De wetten van Newton hebben in de geschiedenis van de natuurkunde terecht een centrale plaats verworven. Het belang van hun bijdrage ligt echter niet in hun verklaringskracht. De grote stap voorwaarts was dat Newton en de Pruissische wiskundige Gottfried Leibniz (1646-1716) vrijwel gelijktijdig een methodiek hebben verzonnen voor de wiskundige behandeling van veranderingsprocessen. Die methodiek, die we nu differentiaalrekening of calculus noemen, is geen abstract wiskundig kunstje, maar een elegante manier om veranderingen toegankelijk te maken voor rekenwerk. Het is die vondst die de geweldige bloei van de natuurwetenschappen in de laatste driehonderd jaar mogelijk heeft gemaakt.
Juist daarom is het didactisch volstrekt onverantwoord om de tweede wet van Newton – waar we nu aan toe zijn – pardoes ten tonele te voeren door in het wilde weg te poneren dat krachten versnellingen veroorzaken. Want, nog afgezien van de onterechte suggestie van oorzaak en gevolg in deze formulering, kun je het idee ‘versnelling’ pas begrijpen als je je afvraagt hoe je het veranderingstempo van snelheid zou moeten bepalen. Dat is opnieuw een vraag waarvoor je de differentiaalrekening zou moeten verzinnen als Newton en Leibniz die klus niet hadden geklaard.

Codenaam kracht

De eerste wet van Newton claimt dat beweging (het product van massa en snelheid) een toestand is die blijft voortbestaan als je de zaak met rust laat. In de aanloop naar de tweede wet vraag je je af wat er aan de hand is als de hoeveelheid beweging verandert. Hoe zou je het veranderingstempo van beweging kunnen meten of berekenen? Als de hoeveelheid beweging, p, in een klein beetje tijd een beetje verandert, dan is het tempo van die verandering gelijk aan de grootte van de verandering gedeeld door het stukje dat de klok is opgeschoten. In navolging van Leibniz (want Newton’s schrijfwijze was niet erg handig) noemen we de verandering in beweging dp (spreek uit: dee-pee) en het tijdsintervalletje waarin die verandering is opgetreden dt. Het tempo van de verandering is dan kennelijk dp/dt (spreek uit: dee-pee dee-tee). We wisten al dat p het produkt van massa en snelheid is; p moet dus in kilogrammeters per seconde worden gemeten. Dan moet dp/dt worden afgerekend in kilogrammeters per seconde per seconde, ofwel kilogrammeters per seconde kwadraat.
‘Veranderingstempo van beweging’ is een mondvol en ‘kilogrammeters per seconde kwadraat’ al helemaal. Gemakshalve is er steno verzonnen: het tempo heet ‘kracht’ en de rekeneenheid ervoor ‘newton’ (ere wie ere toekomt). ‘Kracht’ is een naam voor het veranderingstempo van beweging. Aan de tweede wet van Newton mag geen inhoudelijke betekenis worden toegekend, want er wordt geen enkele uitspraak over de grootte en de aard van de kracht gedaan. We weten op dit punt in de argumentatie nog niets over de enorme verscheidenheid aan krachten in de natuur. Bovendien is een causale interpretatie, alsof de tweede wet zou claimen dat krachten bewegingsveranderingen zouden veroorzaken, hoogst misleidend. Maar al te vaak leiden bewegingsveranderingen juist tot het ontstaan van krachten.

Kwantummechanica

Alleen de kwantummechanica is op dit punt zuiver in de leer. In de kwantummechanica wordt geen enkele kracht toegelaten die niet overeenkomt met de bewegingsuitwisseling van heen en weer flitsende elementaire deeltjes. Als we keer op keer lezen dat de krachten in atoomkernen worden ‘overgebracht’ door fermionen, bosonen, leptonen, gluonen en wat dies meer zij, dan worden we met kracht herinnerd aan de eisen die de tweede wet van Newton stelt.
‘Kracht’ (afgekort tot F, naar het Engelse force) is een codenaam voor het veranderingstempo van beweging: F = dp/dt. Omdat p zelf het product van massa en snelheid is (p = mv), kun je hiermee nog alle kanten uit. Als je het over een steen hebt die door de lucht vliegt, kan F = dp/dt = d(mv)/dt worden vereenvoudigd tot F = m(dv/dt); dat is de vorm waarin bovenbouwleerlingen met de tweede wet kennismaken. Kracht is massa maal versnelling, heet het dan.
In de praktijk is de vorm F = v(dm/dt) – kracht is massastroom maal snelheidssprong – minstens zo belangrijk. Deze vorm heb je nodig om de prestaties van propellers, pompen, windmolens, ventilatoren en straalmotoren te verklaren. Elke motor van een Boeing 747 die op 12 kilometer hoogte vliegt, verwerkt 250 kilogram lucht per seconde en geeft de lucht in de uitlaatpijp een snelheid van 200 meter per seconde mee. De stuwkracht die zo wordt ‘opgewekt’ (in de terechte beeldspraak van vliegtuigbouwers) is 50.000 newton (bijna 5 ton). Om dat te kunnen berekenen hoef je niets te weten over wat er in een straalmotor gebeurt.

Natuurkunde op school

In Scoop, een serie leerboeken voor het onderwijs in de natuurkunde voor de bovenbouw van VWO en HAVO, worden de wetten van Newton als volgt samengevat:

Eerste wet: Als een voorwerp geen kracht ondervindt is het in rust of beweegt het eenparig en in een rechte lijn. Massa is traag.

Tweede wet: Als op een voorwerp een nettokracht werkt, krijgt het een versnelling. Kracht is gelijk aan massa maal versnelling: F = ma, met als bijzonder geval (cursivering van mij, HT) de zwaartekracht: F = mg.

Derde wet: Een kracht komt nooit in z’n eentje, maar is altijd de helft van een tweeling. Actie en reactie zijn even groot, maar tegengesteld van richting.

Weerstand

Als je op dit punt in de argumentatie reclame zou willen maken voor de vermeende verklaringskracht van de wetten van Newton, zou je een voorbeeld moeten nemen waarin een kracht wordt veroorzaakt door bewegingsveranderingen. Het sprookje over de appel die op Newton’s hoofd viel, gaat in dat geval niet over de ontdekking van de zwaartekracht, maar over Newton’s verbazing dat de plotselinge bewegingsverandering van de appel een ferme kracht op zijn hoofd veroorzaakte. Als Newton de zwaartekracht op dezelfde manier had willen ‘verklaren’, had hij zich in het wereldje van virtuele gravitonen moeten storten – dat zijn de imaginaire appeltjes uit de kwantummechanica die de zwaartekracht ‘overbrengen’. Dat schiet niet op. Een veel beter voorbeeld is de luchtweerstand van een fietser. Die weerstand ontstaat doordat een fietser de lucht om hem heen in beweging brengt. De lucht wordt versneld en dat ondervindt een fietser als een vertraging. Actie en reactie heffen elkaar op, want er kan geen beweging uit het niets tevoorschijn worden getoverd of in het niets verdwijnen.
Hoe snel verandert de luchtbeweging om een fietser? Ik moet hier even technisch worden, maar het resultaat is zeer de moeite waard, want het geeft een geweldig helder inzicht in de prestaties van wielrenners en wedstrijdschaatsers. Even volhouden dus. De vorm van de tweede wet die we hier nodig hebben is F = v(dm/dt). Hoeveel lucht stroomt er om een fietser heen, met andere woorden hoe groot is de massastroom dm/dt? Als we de dichtheid van de lucht r (rho) noemen (in kg/m3), het frontaal oppervlak van de fietser A (in m2) en zijn of haar snelheid v (in m/s), dan wordt de massastroom van de lucht evenredig aan rAv (in kg/s). De snelheidsverandering die deze lucht ondergaat is onvermijdelijk ook evenredig met v. Het product v(dm/dt) wordt dan evenredig met rAv maal v, dat is rAv2. Als we nu bereid zijn onze onkunde over de details van het probleem te verstoppen in een experimenteel te bepalen coëfficiënt c, dan kunnen we, evident gesteund door Newton, poneren dat de luchtweerstand van een fietser gehoorzaamt aan F = crAv2. Dat blijkt in de praktijk nog geweldig goed te kloppen ook.
Onze ‘afleiding’ lijkt verbazend veel op een ‘verklaring.’ Kijk maar: de weerstand is evenredig met de dichtheid van de lucht. Daardoor kan er in het ruim duizend meter hooggelegen Calgary sneller worden geschaatst dan in Heerenveen: de lucht is er iets ijler, dus r is kleiner. En waarom houden wielrenners en wedstrijdschaatsers hun bovenlichaam horizontaal? Om hun frontaal oppervlak te halveren. Wat is het voordeel van een ligfiets? Daarop wordt A opnieuw een stuk kleiner. Alles met elkaar een prachtig voorbeeld van de tweede wet van Newton dus.

Zwaartekracht

Newton had het veel moeilijker. Bij het verzinnen van een formule voor de aantrekkingskracht tussen twee hemellichamen kreeg hij geen enkele steun van zijn eigen boekhoudkundig systeem. Dat kon ook niet, want er is in het luchtledig van de kosmos geen materie die bewegingsveranderingen op een ster of planeet kan overdragen. Aan virtuele gravitonen zou hij zich niet gewaagd hebben, want hij had een broertje dood aan dat soort hypothesen. Zo ontdekken we weer een reden om de zwaartekracht níét te gebruiken voor een eerste kennismaking met de mechanica.
De belangrijkste reden om de zwaartekracht te mijden wanneer de wetten van Newton moeten worden uitgelegd, is dat het een hoogst eigenaardige kracht is. De zwaartekracht veroorzaakt immers in alle dingen dezelfde versnelling, ongeacht hun massa, volume of vorm en onafhankelijk van hun overige eigenschappen en interacties. De formule F = mg die op school wordt gebruikt (g = 9,81 m/s2 is de versnelling van de zwaartekracht) leidt onmiddellijk tot dv/dt = g als er geen andere krachten in het spel zijn. De zwaartekracht leidt tot een metriek van bewegingen waarin massa’s als zodanig geen enkele rol spelen. Dat zet beginners op het verkeerde spoor, want het suggereert dat de wetten van Newton de mechanica vereenvoudigen tot kinematica.
F = mg: niemand zou het hebben durven verzinnen als valproeven het niet hadden aangetoond. In vacuüm valt een donsveertje even hard als een kanonskogel. Dat is een geweldige empirische ontdekking, maar ook een voorbeeld dat alleen maar verwarring kan wekken als leerlingen moeten wennen aan de grote verscheidenheid van krachten in de natuur. Als ‘bijzonder geval’ van de tweede wet van Newton ten tonele gevoerd, is F = mg een uiterst ongelukkige keuze.

Struikelblok

De wetten van Newton zijn geweldig nuttig. Ze ondersteunen het denk- en rekenwerk aan veranderingen van bewegingstoestanden op een doeltreffende manier. Hun abstractieniveau is echter een hinderlijk struikelblok voor iedereen die voor het eerst met ze kennismaakt. Daarom zouden natuurkundeleraren veel meer aandacht moeten besteden aan concrete krachten die aansluiten bij de alledaagse ervaringswereld. De achteloosheid waarmee zij de zwaartekracht als voorbeeld gebruiken doet geen recht aan de meest ondoorgrondelijke kracht in de kosmos.
Inzicht in en ervaring met de wetten van Newton kan veel beter worden opgebouwd aan de hand van een reeks concrete voorbeelden waarin krachten worden opgewekt door bewegingsveranderingen: de weerstand van fietsers, schaatsers, auto’s en schepen, de draagkracht van vleugels, de stuwkracht van straalmotoren, de reactiekracht op brandweerslangen en een oneindige lijst van andere voorbeelden. Zo wordt ook het misleidende en volstrekt onnodige onderscheid tussen ‘fundamentele’ en andere krachten vanzelf weggemasseerd. De praktijk van de natuurwetenschappen wordt bepaald door haar veelzijdigheid. Waarom zou het geloof in een klein aantal fundamentele krachten moeten worden aangewakkerd?

Een tegendraadse mening

In haar uitdagende boek How the Laws of Physics Lie trekt de Californische natuurkundige en filosofe Nancy Cartwright ten strijde tegen de conventionele uitleg van de betekenis van fundamentele natuurwetten. Je schiet er niet veel mee op als je ze kent, schrijft ze: “the truth doesn’t explain much”. Cartwright vervolgt met: “de traditie maakt onderscheid tussen fundamentele wetten (zoals de wetten van Newton, HT) en fenomenologische formules (zoals Newton’s formule voor de zwaartekracht, HT), en verlangt ons te geloven dat de fundamentele wetten diepere waarheden bevatten”. Maar, schrijft ze dan, “ik pleit voor het tegendeel. Ik erken dat de fundamentele natuurwetten onze kennis op een doeltreffende en elegante wijze organiseren en rubriceren, maar de inhoud van onze wetenschappelijke kennis ligt in de fenomenologie, in de geweldige verscheidenheid aan formules die in alle deelgebieden van natuur en techniek worden gebruikt”.
Het geloof dat in principe alle verschijnselen herleid kunnen worden tot een klein aantal wetten bestaat alleen nog maar in de fysica in engere zin. In alle andere deelgebieden van de natuurwetenschappen is het idee dat de natuur uiteindelijk eenvoudig is allang verlaten. Een van de redenen daarvoor is dat deterministische chaos op diverse niveaus het in de meeste gevallen onmogelijk maakt een rechtstreeks verband te leggen tussen de dynamica van elementaire deeltjes en de verschijnselen van de macroscopische werkelijkheid.
Nancy Cartwright schrijft: “When it comes to the real world, phenomenological laws win out.” Zo is het maar net. Als het op verklaren aankomt, hebben fenomenologische formules het laatste woord.
Nancy Cartwright. How the Laws of Physics Lie. Oxford/New York: Oxford University Press, 1983.