kennislink.nl maakt nieuwsgierig

Rare verschijnselen zoals hierboven worden in de wiskunde verkiezingsparadoxen genoemd. Door de manier waarop de verkiezingen georganiseerd zijn, kan de uitkomst van de verkiezingen anders zijn dan je logischerwijze zou verwachten. In het geval van Groot Brittanie en Amerika is de oorzaak het districtenstelsel. Het is geen groot nieuws dat dit soort stelsels tot verkiezingsparadoxen kunnen leiden. Schokkender is het dat in ieder kiessysteem dit soort paradoxen kunnen voorkomen. In 1951 bewees Kenneth Arrow dat geen enkel kiessysteem helemaal eerlijk is, en dat volmaakte democratie dus wiskundig onmogelijk is. Dit schokkende feit was goed voor een Nobelprijs economie.

Zeker met alle veranderingen in de organisatie van de EU die voor de deur staan, is het interessant om te kijken wat voor paradoxen er zoal mogelijk zijn. Daarom in dit artikel een groot aantal (vereenvoudigde) voorbeelden. Ook zal ik uitleggen wat Kenneth Arrow bedoelt met ‘volmaakte democratie’. Wie meer wil weten over het bewijs dat dit een onhaalbare kaart is of over de kiessystemen zoals die in de Europese grondwet staan, verwijs ik naar de links onderaan dit artikel. Speciaal voor scholieren/docenten is er een verkorte versie van dit artikel beschikbaar met vragen en opdrachten.

Verschillend kiessysteem, verschillende uitslag.

Drie vrienden (die zoals de meeste vrienden in wiskunderaadsels Anna, Bob en Charles heten) hebben na jaren zoeken eindelijk een mooi huis in Amsterdam gevonden waar ze kunnen gaan wonen. Ze zijn nu bezig met de inrichting van hun gemeenschappelijke woonkamer en zoeken op de meubelboulevard in Beverwijk naar een stoel. Anna is helemaal weg van een rieten rotanstoel, Bob gaat voor een lederen fauteuil en Charles is zeer gecharmeerd van een multifunctionele klapstoel. Ze zijn het erover eens dat het een van deze stoelen moet worden, want alle andere stoelen zijn of te lelijk of te duur. Bob wil echter absoluut de rieten rotanstoel niet, omdat hij als driejarige ooit zijn vinger aan zo’n soort stoel heeft open gehaald. Anna heeft ernstige bezwaren tegen de multifunctionele klapstoel, omdat dat helemaal geen sfeer in huis geeft, en Charles is fanatiek tegen de lederen fauteuil omdat die zou betekenen dat hij zijn kat de hele dag krampachtig in zijn eigen kleine kamertje opgesloten zou moeten houden.

Omdat ze het niet eens worden besluiten ze te stemmen. De voorkeuren zijn dus als volgt verdeeld:

Gewoon per stoel stemmen heeft geen zin: voor iedere stoel is er precies een stem. Daarom stelt Anna voor eerst tussen de Lederen Fauteuil en de Multifunctionele Klapstoel te stemmen, en dan tussen de winnaar en de Rieten Rotanstoel. Bij iedere stemronde moet de uitslag 2 tegen 1 of 3 tegen 0 zijn, dus is er in elk geval een uitslag.

Wat Anna er niet bij vertelt, is dat ze heel goed weet wat die uitslag zal zijn. Eerst verplettert de Fateuil de Klapstoel met 2 stemmen (Bob en zijzelf) tegen 1, om vervolgens het loodje te leggen tegenover de Rotanstoel, die op zijn beurt ook op twee stemmen kan rekenen (dit keer van Charles en Anna) . Bob is hier om begrijpelijke redenen fanatiek op tegen. Hij doet een ander voorstel: eerst stemmen tussen de Multifunctionele Klapstoel en de Rieten Rotanstoel en dan tussen de winnaar en de Lederen Fauteuil. Bob kan niet wachten om de Rieten Rotanstoel roemloos ten onder te zien gaan in zijn verkiezingsstrijd tegen de Klapstoel. Dat de Lederen Fateuil vervolgens de Multifunctionele klapstoel ook nog eens voorbijstreeft in de tweede ronde is helemaal mooi meegenomen. Het wordt aan de lezer overgelaten te bedenken met wat voor alternatief kiessysteem Charles op de proppen zal komen.

Uiteindelijk krijgt Anna haar zin. Er wordt eerst gestemd tussen de Fauteuil en de Klapstoel en dan tussen de winnaar en de Rieten Rotanstoel. Bob voelt de bui al hangen, en omdat zijn rotantrauma zo sterk is dat hij liever verhuist dan op een rotan stoel te moeten zitten, besluit hij in de eerste stemronde niet op zijn eerste keus (de Lederen Fauteuil) maar op zijn tweede keus (de Multifuncionele Klapstoel) te stemmen. Tot ontsteltenis van Anna wint de Klapstoel nu de eerste ronde, en alsof het allemaal niet erg genoeg is, de tweede ronde ook. Charles kan zijn geluk niet op, Bob is blij dat hij erger heeft weten te voorkomen en Anna, tsja, Anna zit er maar mooi mee.

Op zoek naar het perfecte kiessysteem

Nu we weten dat verschillende kiessystemen tot verschillende uitslagen leiden, kunnen we ons afvragen: wat is het beste kiessysteem? Bij welk kiessysteem komt de uitslag het best overeen met de meningen van de kiezers? Deze vraag is nogal moeilijk te beantwoorden omdat “de mening van de kiezers” een begrip is waarvan we niet goed weten wat het is. Iedere kiezer heeft zo zijn eigen mening. Wat we bijvoorbeeld wel kunnen zeggen dat er mis is met het Nederlandse kiessysteem, is dat geen rekening houdt met wat de kiezers vinden van de partijen op wie ze niet stemmen. Als de meerderheid van de kiezers liever partij A heeft dan partij B, dan zouden we willen dat A ook meer zetels haalt dan B. Ook als een groot deel van die kiezers op partij C stemt. In het Nederlandse systeem is dit niet altijd het geval. Laten we kijken naar het volgende vereenvoudigde voorbeeld.

Een pasopgerichte politieke partij, moet een kleur kiezen. rood, blauw en groen zijn al geclaimd, paars is ook geen optie en dus gaat de keus tussen geel, oranje en turqoise. Op het congres dat deze belangrijke beslissing moet nemen zijn 31 leden aanwezig. De voorkeuren zijn als volgt verdeeld:

Net als bij de echte verkiezingen mogen de leden hun eerste keus op een briefje schrijven. De uitslag wordt dus:

1. Geel met 12 stemmen
2. Turquoise met 10 stemmen
3. Oranje met 9 stemmen

Als we echter de kleuren twee aan twee zouden vergelijken krijgen we een heel andere uitslag: meer dan de helft van de leden (16 namelijk) heeft liever Oranje dan Turquoise, en ook meer dan de helft (ook 16) heeft liever Oranje dan Geel. Het lijkt er dus op dat Oranje veruit de populairste kleur is. Bovendien hebben 16 leden liever Turquoise dan Geel. Geel kunnen we dus wel aanmerken als de grote verliezer. Deze uitslag:

1. Oranje (Want populairder dan zowel Turquoise als Geel)
2. Turqoise (Want populairder dan Geel, maar minder populair dan Oranje)
3. Geel (Want minder populair dan zowel Oranje als Turquoise)

is echter precies tegengesteld aan de vorige. Welke is nou eerlijker?

Meeste stemmen gelden vs Twee aan twee vergelijken

Over het algemeen wordt ‘twee aan twee vergelijken’ wat bij de tweede uitslag gedaan eerlijker beschouwd dan ‘de meeste stemmen gelden’, wat tot de eerste uitslag leidde. De reden hiervoor is dat twee aan twee vergelijken aan een aantal redelijke eisen voldoet, waaraan de meeste stemmen helaas niet altijd kan voldoen. De eerste eis is al besproken: als een meerderheid van de kiezers liever A dan B heeft, dan willen we dat A ook hoger eindigt dan B. En in het extreme geval dat ALLE kiezers liever partij A dan partij B hebben, willen we natuurlijk helemaal dat A meer zetels haalt dan B. Zelfs hieraan is in het Nederlandse kiessysteem niet altijd voldaan (bedenk zelf hoe).

De tweede eis wordt duidelijk uit het volgende voorbeeld. Stel dat de zeven kiezers die als volgorde “1. Geel 2. Oranje 3. Turquoise” hadden, zich op het laatste moment bedenken en besluiten dat ze Turquoise eigenlijk mooier vinden dan Oranje (maar Geel nog steeds mooier dan de andere twee). Je zou redelijkerwijs mogen verwachten dat zo’n aardverschuiving in “de mening van de kiezers” van grote invloed is op de uitslag van de verkiezingen. Dit is bij de meeste stemmen gelden echter helemaal niet het geval!

Wat is met de nieuwe voorkeuren:

de ‘nieuwe’ uitslag als ieder lid zijn 1e keus op een briefje schrijft? En wat is de ‘nieuwe’ uitslag bij twee aan twee vergelijken? ‘Uw mening telt’ geldt dus meer bij twee aan twee vergelijken dan bij ‘De meeste stemmen gelden’.

Iets meer in het algemeen is het bezwaar tegen het systeem dat in Nederland gebruikt wordt, dat het geen rekening houdt met wat de kiezers vinden van de partijen waar ze niet op stemmen. Twee aan twee vergelijken is niet de enige manier om hier wat aan te doen. Er zijn talloze andere kiessystemen te bedenken en bedacht die op dit punt ‘eerlijker’ lijken dan het gewone Nederlandse systeem. Ik roep van harte op zo’n systeem te bedenken.

Ik heb getwijfeld over België

Er is zelfs nog een derde punt waarop twee-aan-twee vergelijken beter scoort dan de meeste stemmen gelden, genaamd onafhankelijkheid van Irrelevante Alternatieven. Bekijk het volgende voorbeeld.

Een schoolklas gaat een weekje op kamp en mag kiezen uit drie bestemmingen: China, Japan en België. De meningen van de 20 leerlingen zijn als volgt verdeeld:

Er wordt gestemd op de gebruikelijke manier en de uitslag is als volgt:

1. België (met 16 stemmen)
2. Japan (met 1 stem)
3. China (met 0 stemmen)

De klas besluit naar België te gaan. ‘s Avonds is echter op het nieuws dat in België oorlog is uitgebroken. De ouderraad acht het niet verantwoordelijk om in deze omstandigheden naar België te gaan, en de klas kiest voor zijn (volgens de verkiezingen) tweede keus: Japan. Dit is natuurlijk niet helemaal eerlijk. Als de oorlog een dag eerder was uitgebroken en er meteen tussen alleen China en Japan gestemd was, had China overtuigend met 16 tegen 4 gewonnen. Dit mankement van het kiessysteem nodigt natuurlijk uit tot vreselijke fraude. Stel dat de keus oorspronkelijk alleen tussen China en Japan ging. Piet voelde al aankomen dat hij vreselijk ging verliezen, en zat danig met de handen in het haar. Toen hoorde hij opeens een piepje in zijn broekzak. Zijn sms-nieuwsdienst vertelde hem als eerste en als enige over de oorlog in België die zojuist begonnen was. Prompt lanceerde hij het ’Irrelevante Alternatief’ België als derde vakantiebestemming. Hij gaf hoog op van de goede keuken en de frisse boslucht en al zijn klasgenoten gingen voor de bijl. België won de verkiezingen als hierboven, met als goede tweede Japan. ‘s Avonds zag iedereen het nieuws en de volgende dag besloot de klas naar Japan te gaan, in plaats van het logischer lijkende China. We zeggen dat dit de meeste stemmen gelden systeem niet ’onafhankelijk van irrelevante alternatieven’ is.

Ga na dat twee aan twee vergelijken wel onafhankelijk van irrelevante alternatieven is: het toevoegen en achteraf weer weghalen van een extra keuzemogelijkheid verandert niks aan de verhoudingen tussen de andere mogelijkheden.

Twee aan twee vergelijken in de praktijk

Dit alles roept twee vragen op: ‘merken we nou ook wat van in het echt?’ en ‘als twee aan twee vergelijken dan zoveel beter is dan de meeste stemmen gelden, waarom doen we dat dan niet?’

Het antwoord op de eerste vraag is waarschijnlijk ja. Op grond van opiniepeilingen is dit berekend voor een aantal Nederlandse Tweede Kamerverkiezingen (zie de links onderaan het artikel). In de verkiezingen van 1994 won D66 bij twee aan twee vergelijken van de PvdA, van het CDA en van de VVD, maar al deze partijen haalden meer zetels dan D66.

Dan de vraag waarom twee aan twee vergelijken niet wordt toegepast. De reden is vrij eenvoudig: er is niet altijd een uitslag. Kijk nog eens naar het voorbeeld van de stoelen. Bij twee aan twee vergelijken wint de Rieten Rotanstoel van de Lederen Fauteuil, de Lederen Fauteuil op zijn beurt wint weer van de Multifunctionele Klapstoel, maar de Multifunctionele Klapstoel wint van de Rieten Rotanstoel. Twee aan twee vergelijken geeft misschien het best de ‘mening van de samenleving als geheel’ weer, maar de samenleving als geheel denkt niet altijd logisch na.

We zouden natuurlijk (zoals Anna voorstelt in het stoelenvoorbeeld) een van de drie vergelijkingen niet kunnen houden, maar in dat geval worden de stoelen niet gelijkwaardig behandeld. Als extra eis aan volmaakte democratie zouden we willen toevoegen dat alle partijen of dingen waartussen gekozen moet worden, gelijk worden behandeld.

Soms zijn er gewoon maar twee mogelijkheden om uit te kiezen. In dat geval kan het probleem dat ‘de samenleving als geheel’ mogelijkheid A boven B verkiest, mogelijkheid B boven C maar mogelijkheid C boven A niet optreden en kunnen we met een gerust hart ‘twee aan twee vergelijken’, bijvoorbeeld in een referendum. Ook hierbij kunnen vreemde verschijnselen optreden zoals uit de volgende twee voorbeelden blijkt.

Verkiezingen versus referenda

In de Gemeente Zwaanhoven zijn twee partijen: Zwaanhoven Belangen en Leefbaar Zwaanhoven. Bovendien draaien de verkiezingen geheel om drie thema’s: de bouw van een parkeergarage in een park, een fusie met de nabijgelegen gemeente Oest en de privatisering van het Zwaanhovens Vervoerbedrijf. Op al deze drie punten zijn de partijen het met elkaar oneens. Als de een voor is, is de ander tegen en andersom.

De meningen van de kiezers zijn verdeeld. Ze zijn in te delen in 4 groepen Hieronder staat aangegeven hoe deze groepen het per vraagstuk met de verschillende partijen eens zijn en hoe groot ze zijn. We gaan er vanuit dat alle kiezers de drie thema’s even belangrijk vinden. De kiezers uit groep A zijn het op twee punten (de parkeergarage en de fusie met Oest) eens met Leefbaar Zwaanhoven en slechts op een punt met Zwaanhoven Belangen. Deze kiezers stemmen dus op Leefbaar Zwaanhoven. Op dezelfde manier kiezen de andere kiezers voor de partij met wie ze het op 2 van de 3 punten eens zijn.

Bij de verkiezingen wint Leefbaar Zwaanhoven met 60% van de stemmen tegen 40% voor Zwaanhoven Belangen kan dus in op alle drie de punten zijn zin doordrukken. Maar als er referenda gehouden zouden worden zou juist Zwaanhoven Belangen op alle drie de punten zijn zin krijgen (steeds met een meerderheid van 60% tegen 40%) en zou Leefbaar Zwaanhoven achter het net vissen.

O, was ik maar bij moeder thuisgebleven

In de nabijgelegen gemeente Oest is de situatie een beetje anders dan in Zwaanhoven. Hier draait alles om de aanleg van een snelle metroverbinding tussen Oest-Oost en Oest-West. Het gemeentebestuur is voor, evenals 60% van de inwoners van Oest (om precies te zijn de inwoners Oest-West en Oest-Oost, ieder goed voor 30% van de bevolking). De inwoners van het oude centrum van Oest zijn tegen, omdat ze geen zin hebben in alle graafwerkzaamheden onder hun antieke dorpskern. Deze mensen vormen de overige 40% van de Oestse bevolking. (Oest-Noord bestaat geheel uit industrieterrein en Oest-Zuid bestaat om onduidelijke redenen niet.)

Het gemeentebestuur van Oest besluit een referendum over de kwestie uitteschrijven. ‘Zo hebben de burgers niet het gevoel dat ze niks te zeggen hebben’, redeneert het gemeentebestuur, ‘en bovendien hebben we niets te verliezen met 60% voorstanders.’ Als de opkomst bij het referendum 50% of meer is, is het referendum bindend en zal de gemeente zich houden aan de uitslag. Als de opkomst lager is dan 50% is het referendum ongeldig en mag het gemeentebestuur doen wat ze wil, in dit geval dus de metrolijn aanleggen.

Hier zien we een mooi voorbeeld van de ‘Paradox van de thuisblijver’. Door een lokale regenbui regent het in Oest-Oost en in het oostelijke deel van Oest-centrum. De 30% voorstemmers in Oest-Oost denken ‘ja, zeg ik ga niet helemaal door de regen lopen voor een metrolijn die er pas in 2030 ligt’ en blijven thuis. De 40% tegenstemmers in Oest-Centrum denken: ‘Een verkoudheid duurt misschien een week, maar die graafwerkzaamheden zullen als we niet uitkijken 25 jaar in beslag nemen’ en trotseren dus weer en wind om tegen te stemmen.

De vraag is nu wat de inwoners van het zonovergoten Oest-West moeten doen. Als rechtgeaarde democraten snellen ze natuurlijk massaal naar de stembus om hun voorstem te laten klinken, maar eigenlijk is dat niet in hun belang. Als de 30% inwoners van Oest-West vóór stemmen is het referendum rechtsgeldig met een opkomst van 70%, maar de tegenstanders winnen met 4/7 oftewel 57% van de stemmen. Als de Oest-Westenaren daarentegen massaal waren thuisgebleven hadden ze hun zin gekregen: met een opkomst van slechts 40% hoeft het gemeentebestuur geen rekening met de uitslag van het referendum te houden, ook al is in dat geval 100% van de stemmen tegen. De voorstemmers moeten dus eigenlijk zorgen dat ze óf allemaal wel óf allemaal niet gaan stemmen Maar ja, zie maar eens met zoveel mensen tot een handige afspraak te komen…

Eisen aan je kiessysteem en de stelling van Arrow

Na deze voorbeelden van hoe een kiessysteem tot een vreemde of zelfs ‘oneerlijke’ uitslag kan leiden, kunnen we bekijken welke eisen we aan ons kiessysteem zouden willen opleggen, om hem maar zo eerlijk mogelijk te maken. We zijn in de tekst tot nu toe 5 eisen tegengekomen waaraan een volmaakte democratie zou moeten voldoen:

Neutraliteit: alle partijen worden gelijk behandeld (Dit gebeurt niet in het voorbeeld van de stoelen, maar ook niet bij het referendum in Oest)

Meerderheidsprincipe: als de meerderheid partij A boven partij B verkiest moet A ook boven B eindigen (dit gebeurt niet in het voorbeeld van de kleuren)

Monotonie: als iemand van gedachten verandert en partij A hoger waardeert dan eerst, dan moet A er ook in de uitslag op vooruit gaan (dit gebeurt niet bij het referendum in Oest: als een voorstander besluit tóch maar te gaan stemmen, kan hij daarmee juist net voorkomen dat de metro er komt)

Onafhankelijkheid van Irrelevante Alternatieven: toevoegen en weer verwijderen van partijen heeft geen invloed (dit ging mis in het voorbeeld van de schoolklas)

Transitiviteit: als A eindigt boven B en B boven C dan eindigt A automatisch ook boven C (dit is niet haalbaar bij twee aan twee vergelijken zoals blijkt uit het voorbeeld van de stoelen)

De uitdaging is nu: kunnen we een kiessysteem bedenken dat aan alle vijf deze eisen voldoet?

Het antwoord is nee. Dit neemt echter niet weg dat je het niet kunt proberen. Er zijn een hoop verschillende kiessystemen mogelijk die elk hun eigen paradoxen hebben. Je zult moeten kiezen welke eisen je belangrijker vindt dan andere. Je zou bijvoorbeeld kunnen zeggen dat het meerderheidsprincipe en monotonie gewoon te veel gevraagd zijn. Laten we monotonie gewoon afschaffen als eis en het meerderheidsprincipe vervangen door (onbetwistbaar redelijke) ‘Pareto-eis’:

Als iedereen partij A boven B verkiest moet A ook boven B eindigen in de verkiezingen.

Is er een systeem dat aan deze eis voldoet, transitief is, onafhankelijk van irrelevante alternatieven en alle partijen gelijk behandelt? Het antwoord is ja, en dit systeem heet dictatuur. Met dictatuur wordt in dit geval bedoeld dat alle kiezers een mening hebben over hoe de uitslag eruit zou moeten zien, maar deze uitslag per definitie altijd gelijk is aan de mening van één van hen, de dictator. Het is duidelijk dat dit systeem aan alle vier deze eisen voldoet.

Dit wil niet zeggen dat dictatuur wiskundig gezien het meest democratische systeem is. We kunnen namelijk gewoon een eis aan onze volmaakte democratie toevoegen, bijvoorbeeld dat alle stemmen even zwaar moeten meetellen. Ga na dat in een districtensysteem zoals in Engeland ook niet aan deze eis voldoet.

Wat nu in 1950 door Keneth Arrow bewezen is, is het volgende: er is géén systeem dat:

• niet dictatoriaal is (niet iedereen hoeft gelijk behandeld te worden, maar je moet het niet te bont maken);
• neutraal is (alle partijen worden gelijk behandeld);
• aan de Pareto eis voldoet (als iedereen A beter vindt dan B moet A ook beter uit de bus komen dan B);
• transitief is (er is wel een uitslag).

Dit klinkt nogal schokkend. De (nog niet eens zo heel) Volmaakte Democratie is wiskundig bewezen (niet te verwarren met statistisch bewezen) onhaalbaar.

Voor wie meer wil lezen

Meer leuke voorbeelden van verkiezingsparadoxen (en een hoop andere leuke wiskunde) is te lezen in De wraak van Archimedes (Archimedes’ revenge) van Paul Hoffman. Nog veel en veel meer informatie over verkiezingsparadoxen met wiskundige achtergronden en voorbeelden uit de ‘echte’ politiek is te vinden in Verkiezingen, een web van paradoxen door H. de Swart, A van Deemen, E van der Hout en P. Klop, deel 8 uit de Zebrareeks van Epsilon Uitgaven.

Verkiezingsparadoxen bij echte Nederlandse verkiezingen zijn te vinden in het artikel ‘Empirical evidence of paradoxes of voting in Dutch elections’, door A. van Deemen en N. Vergunst, in Public Choice, 97, blz 475-490, 1998.

Keneth Arrow beschreef zijn stelling in zijn boek Social Choice and Individual Values uit 1951.

Een verkorte versie van dit artikel met vragen en opdrachten (Word-document)