Gemiddeld genomen komt het even vaak voor dat de som van de cijfers van priemgetallen even is, als oneven. Dat hebben twee Franse wiskundigen bewezen.
De rij priemgetallen begint zo: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19. Het zijn de getallen die alleen deelbaar zijn door 1 en door zichzelf. Bijvoorbeeld 9 is geen priemgetal: het is deelbaar door 3. Al zo’n 300 jaar voor Christus bewees de Griek Euclides dat er oneindig veel priemgetallen zijn. Natuurlijk zijn op het getal 2 na alle priemgetallen oneven: elk even getal groter dan 2 is deelbaar door 2 en dus niet priem.
Talloze problemen waar getaltheoretici zich mee bezig houden, gaan over priemgetallen en vele daarvan zijn tot op de dag van vandaag onopgelost. Neem bijvoorbeeld het beroemde Vermoeden van Goldbach, dat stelt dat elk even getal groter dan 2 te schrijven is als de som van twee priemgetallen. Of neem de priemtweelingen: bestaan er oneindig veel priemgetallen p waarvoor geldt dat p + 2 eveneens priem is? Nog een voorbeeld: bestaan er oneindig veel priemgetallen van de vorm 2n – 1, de zogeheten Mersenne-priemgetallen? En nog één: bestaan er oneindig veel priemgetallen die, in hun decimale schrijfwijze, het cijfer 7 niet bevatten? De meeste wiskundigen denken dat deze vermoedens waar zijn, maar niemand weet het zeker.
Som van de cijfers
Er zijn 25 priemgetallen onder de 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. Als je de cijfers van elk priemgetal bij elkaar optelt, krijg je het volgende rijtje getallen: 2, 3, 5, 7, 2, 4, 8, 10, 5, 11, 4, 10, 5, 7, 11, 8, 14, 7, 13, 8, 10, 16, 11, 17, 16. Van deze getallen zijn er 13 even en 12 oneven; de verhouding tussen het aantal even en oneven getallen is dus nagenoeg fifty-fifty. Dat dat zo is voor alle priemgetallen onder de 100 zegt nog niks over hoe het zit als je de rij getallen flink groter maakt.
De Russische wiskundige Aleksandr Osipovich Gelfond vroeg zich af of die fifty-fifty verhouding altijd geldt. Hij dacht van wel, maar kon het niet bewijzen. Waarom zouden er, op den duur, niet méér priemgetallen zijn waarvan de som van de cijfers even is? In 1968 formuleerde hij zijn probleem en sindsdien staat het bekend als het Vermoeden van Gelfond. Nu, 42 jaar later, hebben Christian Mauduit en Joël Rivat, twee wiskundigen van het Institut de Mathématiques de Luminy (CNRS/Université de la Méditerranée) in Frankrijk, bewezen dat Gelfond het inderdaad bij het rechte eind had. Wat ze bewezen is het volgende. Stel je een gigantische bak met balletjes voor; op elk balletje staat een priemgetal. Als je een willekeurige greep ballen uit de bak neemt, zul je – gemiddeld genomen – een greep hebben met even veel priemgetallen waarvan de som van de cijfers even is, als priemgetallen waarvan die som oneven is. Dat dat zo is, is allerminst vanzelfsprekend. De Franse wiskundigen gebruikten voor hun bewijs diepgaande methoden uit de getaltheorie en de combinatoriek.
Het resultaat van Maudit en Rivat geldt in elk talstelsel, niet alleen het tientallige. Het wordt gezien als een doorbraak; het is daarom niet verwonderlijk dat het deze maand is gepubliceerd in de Annals of Mathematics, een van de meest toonaangevende wiskundetijdschriften. Het is niet uitgesloten dat het resultaat van de Fransen kan leiden tot de oplossing van aanverwante problemen die nog op een oplossing wachten. Los van het theoretische karakter van het Vermoeden van Gelfond is dit probleem verwant met pseudo-randomgetallen en heeft het toepassingen in onder meer de cryptografie.