Reis door het fractalheelal

De Fransman Gaston Julia was de eerste die fractals als wiskundig object ondekte. Hij beschreef hun wiskundige structuur al in 1918. Het duurde lang voordat er meer met dit werk gebeurde, omdat er zonder snelle computers geen manier was om deze abstracte ideeën te verbeelden. Pas in 1970 slaagde Benoît Mandelbrot erin om de wiskundige theorie om te zetten naar mooie plaatjes.

door

Aan het begin van de twintigste eeuw was er door de Franse wiskundigen Pierre Fatou en Gaston Julia al veel onderzoek gedaan naar chaotisch gedrag bij bepaalde iteraties. Hun onderzoek had de Juliaverzamelingen opgeleverd, grillige figuren met een rand die zich in het klein steeds weer herhaalt. Ongeveer zoals het blad van een koningsvaren, dat uit lobben bestaat waarvan de rand ook weer gelobd is met lobben die weer gelobd zijn enzovoorts. De ‘zelfherhaling’ was bekend op grond van theoretische inzichten. Plaatjes van de Juliaverzamelingen kon toen niemand nog tekenen: dat vergde teveel rekenwerk.

Fractal-fig3

Computers

Eind jaren zeventig veranderde deze situatie: computers waren beschikbaar om het vereiste rekenwerk aan te kunnen. Benoît Mandelbrot, die ooit nog les kreeg van Gaston Julia aan de École Polytechnique te Parijs, liet de computer de eerste tekeningen maken van Juliaverzamelingen. Met de plaatjes die uit de computer rolden, was het of hij een nieuw heelal binnentrad. Systematisch onderzoek van de parameter in de Juliaverzameling leverde een nieuwe figuur op, de zogenaamde Mandelbrotverzameling, die ook een zelfherhalende rand heeft, al is daar de zelfherhaling nooit precies.

Figuren met een zelfherhalende rand heten fractals. Nu computers vele malen sneller zijn, zijn fractals juist handig, omdat betrekkelijk weinig rekenwerk een zeer complex patroon oplevert. Bij computeranimaties worden fractals gebruikt om details in te vullen zoals bergketens, wolkenpartijen, waterreflecties en vogelzwermen.

Julia_mandelbrot

Julia- en Mandelbrotverzameling
Kies een getal c, herhaal voor een willekeurig complex getal z de bewerking z2 + c, en bepaal de rand van het gebied waar dit proces leidt tot willekeurig grote waarden. Zo levert elke c een Juliaverzameling. Hierboven zie je in afbeelding 1, 2 en 3 de Juliaverzamelingen voor c = -0,5 + 0,5i, c = i en c = -1,25. Kleur je in het complexe vlak het gebied van de c waarvoor de Juliaverzameling een aaneengesloten gebied is, dan krijg je de Mandelbrotverzameling, zie afbeelding 4.

Internet

Behalve handig zijn de figuren van Julia en Mandelbrot vooral mooi. Verander de parameters een beetje en zoom in, dan is het of je een onbekende hoek van het universum binnengaat. Op het internet zijn programma’s beschikbaar om fractals te tekenen. Er zijn zowel gratis programma’s als professionele programma’s, die sneller zijn en mooiere effecten opleveren. Een goed nieuw programma is Ultra Fractal, dat je gratis kunt uitproberen. Met Ultra Fractal kun je niet alleen fractals met verschillende lagen en animaties maken, maar ook je eigen formules schrijven. Andere programma’s die de moeite van het experimenteren waard zijn, zijn Fractal Explorer en Fractal Imaginator van de Nederlander Jules Ruis.

Meer over fractals op Kennislink: