Kort voor zijn dood in 1920 schreef het Indiase wiskundegenie Srinivasa Ramanujan over mock thetafuncties. Hij deed dat in een brief aan de Britse wiskundige Godfrey Harold Hardy van de universiteit van Cambridge, bij wie Ramanujan van 1914 tot 1919 had gewerkt. ‘Gewone’ thetafuncties, een speciaal soort functies van complexe variabelen, waren in Ramanujans tijd reeds uitgebreid bestudeerd en ook Ramanujan was hier vertrouwd mee. Thetafuncties hebben hun nut in de wiskunde al lang bewezen; zij spelen onder meer een rol in elliptische krommen, die op hun beurt weer een rol spelen in onder andere het bewijs van de Laatste Stelling van Fermat en de theorie van congruente getallen. Ramanujan hield zich voor het eerst bezig met mock thetafuncties. Maar toen hij op 32-jarige leeftijd overleed, liet hij de wiskundewereld met veel vragen achter: zijn aantekeningen waren zo onduidelijk, dat niemand precies wist wat mock thetafuncties eigenlijk zijn.
Het werk van Ramanujans laatste levensjaar, 138 ongenummerde pagina’s vol formules, met de hand geschreven, kwam terecht in de bibliotheek van het Trinity College in Cambridge, waar het werd opgeborgen tussen rekeningen en brieven. Dit ‘verdwenen notitieboek’ werd in 1976 teruggevonden door George Andrews. ’Ramanujan’s Lost Notebook’ (links) werd in 2005 in twee delen uitgegeven. Eerder al werd in vijf delen ’Ramanujan’s Notebooks’ (rechts) uitgegeven.
Prijs voor Ramanujan’s wiskunde
De SASTRA Ramanujanprijs wordt sinds 2005 jaarlijks uitgereikt aan een wiskundige die onderzoek doet in gebieden waarvoor Ramanujan de grondslag legde. De Amerikaan Freeman Dyson en de Nederlander Sander Zwegers hebben eerder al baanbrekend werk op het gebied van mock thetafuncties gedaan. Zwegers kwam in 2003, het jaar waarin hij promoveerde, met een doorbraak. Pas sinds dat moment is exact duidelijk wat nu eigenlijk de connectie is tussen thetafuncties en mock thetafuncties. Zwegers toonde aan hoe de mock thetafuncties gebruikt worden in de theorie van modulaire vormen, zie het onderstaande kader.
Modulaire vormen
Het hoofdkenmerk van modulaire vormen is hun buitensporig hoge graad van symmetrie. Een voorwerp is symmetrisch als het op een bepaalde manier kan worden getransformeerd en daarna toch onveranderd lijkt. Neem bijvoorbeeld een vierkant, dat in vele opzichten symmetrisch is: je kunt hem op vier manieren spiegelen en roteren over 90, 180 of 270 graden, zonder dat het vierkant verandert van vorm of plaats.
Hierboven zie je een betegeling van de hyperbolische ruimte als cirkelschijf. De symmetrieën van deze betegeling sluiten aan bij de definitie van modulaire vorm: modulaire vormen vertonen een oneindige symmetrie. Het zijn vormen die je op een oneindig aantal manieren kunt verschuiven, verwisselen, kantelen, spiegelen of draaien, zonder dat de vorm verandert. Modulaire vormen horen thuis in de complexe ruimte die het hyperbolisch halfvlak wordt genoemd. Het gaat dan om een meerdimensionale ruimte die op het eerste gezicht lastig is voor te stellen. Toch zijn er allerlei manieren bedacht om dergelijke abstracties te visualiseren. Het filmpje hieronder laat zien hoe je één dimensie kunt uitbreiden naar twee dimensies, hoe je van twee naar drie dimensies kunt, enzovoorts. Op Kennislink verscheen eerder het artikel Een video zegt meer dan duizend woorden, over de visualisatie van Möbiustransformaties.
De Duitse Kathrin Bringmann heeft het werk van Zwegers een nieuwe impuls gegeven. Zo maakte zij bijvoorbeeld de connecties tussen mock thetafuncties en modulaire vormen expliciet. Verder schreef zij samen met Ken Ono een artikel getiteld ’Dyson’s rank and Maass forms’, dat is geaccepteerd door de Annals of Mathematics, een van de meest prestigieuze tijdschriften in de wiskunde. In dat artikel tonen zij aan dat de mock thetafuncties van Ramanujan speciale gevallen zijn van een bekende familie ‘Maass-vormen’, ook weer zoiets abstracts… Ook bewees Bringmann het veertig jaar oude vermoeden van Andrews en Dragonnette. Voor dit alles wordt Bringmann nu beloond met de SASTRA Ramanujan Prijs, een bedrag van 10.000 dollar. Credits gaan ook naar Ken Ono en Jeremy Lovejoy, waarmee Bringmann veel samenwerkt.
Kathrin Bringmann
Zie ook:
- De SASTRA Ramanujan Prize, algemeen (Engels)
- De SASTRA Ramanujan Prize, over Kathrin Bringmann (Engels)
- Srinivasa Ramanujan ging aan wiskunde ten onder (Kennislink)
- Raadsel mock thetafuncties opgelost (Kennislink)
