Vorige maand kopte een artikel in de Volkskrant met ‘Winkeliers doen biljet van 100 euro in de ban’. De winkeliers willen het geld niet hebben, uit angst voor valse biljetten. Onder andere om deze reden komen uit de pinautomaat geen briefjes van 100. Philip Hans Franses, hoogleraar econometrie aan de Erasmus Universiteit in Rotterdam, noemt nog een andere reden om de coupure in de ban te doen: het honderd eurobiljet is eenvoudigweg overbodig, want in een wereld zonder dit biljet wordt het betalingsverkeer nauwelijks minder efficiënt.
Biljetten van 100, 200 en 500 euro worden niet geaccepteerd
Efficiënte transacties
In het betalingsverkeer noemen we een transactie efficiënt als er zo weinig mogelijk munten of biljetten over en weer gaan. Een voorbeeld: stel je moet een bedrag van 11,30 euro afrekenen aan de kassa. Met minder dan vier geldstukken lukt de betaling niet. Met vier geldstukken lukt het wel, hiervoor zijn drie manieren: (a) je geeft een biljet van 10 euro en munten van 1, 0,20 en 0,10 euro; (b) je geeft een biljet van 10 euro en munten van 1 en 0,50 euro, en krijgt een munt van 0,20 euro retour; © je geeft een biljet van 10 euro en een munt van 2 euro, en krijgt munten van 0,50 en 0,20 euro retour.
In de praktijk worden efficiënte transacties vaak toegepast: als je een bedrag van 45,50 euro moet betalen en je geeft een biljet van 50 euro, zal de winkelier vragen of je er misschien 50 cent bij kunt geven. Op die manier kan er een efficiënte transactie plaatsvinden: je geeft een 50 eurobiljet en een munt van 50 cent, en krijgt een 5 eurobiljet terug. Zo zijn er in totaal drie geldstukken over en weer gegaan en met minder lukt het niet. Zonder die extra 50 cent is de transactie niet efficiënt: de winkelier moet dan 4,50 euro teruggeven en daarvoor zijn (ten minste) drie munten nodig; samen met het 50 eurobiljet gaan er dan (ten minste) vier geldstukken over en weer.
“Heeft u er misschien 5 cent bij?”
Weglating van een biljet
Je kunt voor elk bedrag uitrekenen hoeveel efficiënte transacties er zijn. Philip Hans Franses van de Erasmus Universiteit en Jeanine Kippers van de Nederlandsche Bank hebben dit in verschillende situaties uitgezocht. Voor geheeltallige bedragen tussen de 1 en de 1000 euro zijn er gemiddeld 4,52 handelingen nodig om een bedrag efficiënt te kunnen afrekenen. Je kunt dit gemiddelde aantal handelingen ook bepalen als er een coupure uitvalt. Laten we het 100 eurobiljet weg, dan is er een kleine toename: er zijn dan gemiddeld 4,62 handelingen nodig. Een verwaarloosbaar verschil, concluderen de onderzoekers. Het veelgebruikte tientje blijkt verrassend genoeg eveneens nauwelijks bij te dragen aan efficiëntie: weglating van dit biljet leidt tot een gemiddeld aantal handelingen van 4,65. Dit is anders voor biljetten van 20 en 50 euro: het gemiddeld aantal handelingen om een bedrag efficiënt te kunnen betalen, loopt bij weglating van 20 en 50 eurobiljetten op tot 4,82 respectievelijk 4,84.
Eurocenten
Al vrij snel na de invoering van de euro in 2002 besloten veel winkeliers bedragen af te ronden op veelvouden van 5 cent. Men zag in dat het gedoe met 1- en 2-eurocenten leidt tot opstoppingen aan de kassa. Dat inzicht was terecht, blijkt uit onderzoek van Franses en Kippers. Zij berekenden voor élk bedrag tussen 0.01 en 100 euro hoeveel handelingen er gemiddeld nodig zijn voor een efficiënte transactie: dat aantal is 5,83. Dezelfde berekening voerden ze uit voor bedragen die veelvouden zijn van 0.05 euro: het gemiddelde aantal handelingen is dan nog maar 4,93, een winst van bijna een hele handeling!
De vijf guldenmunt en het tien guldenbiljet. Jaap Drupsteen, en eerder Ootje Oxenaar, tekende voor de ontwerpen van de guldenbiljetten.
Gulden versus euro
Veel mensen denken met nostalgie terug aan de oude vertrouwde gulden. De Nederlandse biljetten behoorden met hun prachtige ontwerpen tot het fraaiste geld ter wereld. Maar vanuit het oogpunt van efficiëntie zijn we er met de euro iets op vooruit gegaan. De coupurereeks van de euro, 1-2-5, 10-20-50 etcetera, is zo goed als optimaal: met zo min mogelijk inspanningen (heen en weer gaan van munten en biljetten) kun je zo veel mogelijk transacties doen. De euroreeks is in die zin beter dan die van de gulden, 1-2½-5 etcetera. Althans, wanneer we de 1- en 2-eurocenten niet meetellen: zonder afrondingen op veelvouden van 5 cent, slaat de balans uit in het voordeel van de gulden.
Het algoritme van Cramer
Franses en Kippers gebruikten voor hun berekeningen het algoritme van Cramer. Dit algoritme, dat stamt uit 1983, luidt als volgt:
1. Begin met één munt of biljet, daar kun je dus mee betalen: 1 cent, 2 cent, 5 cent, tot en met 500 euro. Noteer deze bedragen in een lijst.
2. Neem twee geldstukken. Dan zijn er twee wegen, de ene is de som van de twee en de andere het verschil. Een voorbeeld: je hebt een munt van 2 euro en een biljet van 10 euro. Daarmee kun je betalen: 12 euro (10 + 2) of 8 euro (10 – 2; de munt van 2 euro is dus het wisselgeld). Alle bedragen die je op deze manier verkrijgt, voeg je toe aan de lijst, uiteraard met weglating van de bedragen die met één geldstuk zijn te betalen, want we willen dat op de lijst uitsluitend efficiënte transacties voorkomen.
3. Voeg aan elk pad uit de vorige stap een geldstuk toe, en neem weer de som en het verschil. De bedragen die je zo verkrijgt voeg je toe aan de lijst, wederom met weglating van de bedragen die in de vorige stappen reeds werden verkregen.
Op deze manier ga je verder, net zo lang totdat alle bedragen tot een bepaalde grens, bijvoorbeeld 100 euro, op de lijst voorkomen. Daarna categoriseer je alle bedragen, dan heb je alle efficiënte schema’s per bedrag. Dat aantal loopt in de tienduizenden. Hierna kun je het gemiddelde aantal handelingen dat nodig is om een bedrag efficiënt te betalen, berekenen. Wanneer je bijhoudt hoe vaak je een bepaalde munt of bepaald biljet nodig hebt, blijkt dat biljetten van 10 en 100 euro minder vaak voorkomen dan biljetten van 20 en 50 euro.
In theorie kun je een nóg efficiëntere reeks krijgen door munten of biljetten van niet-ronde bedragen toe te staan. Een munt van 1,37 euro of een biljet van 18 euro rekent erg ongemakkelijk. Dus ook al zouden dergelijke coupures in theorie voor een efficiëntere reeks zorgen, in verband met het gebruiksgemak zijn ze in praktijk niet handig.
