Wiskunde met zijn allen

Het ‘Polymath Project’ heeft bewezen dat vele breinen gezamenlijk tot de oplossing van een moeilijk wiskundig vraagstuk kunnen komen. Initiatiefnemer van dit project is Timothy Gowers.

door

Op 27 januari 2009 gebruikte wiskundige Timothy Gowers zijn blog om een nieuw experiment te doen: werken aan een wiskundig probleem waarbij iedereen zijn eigen steentje mag bijdragen. Net zoals het schrijven over een bepaald onderwerp op Wikipedia: iedereen die er verstand van heeft, mag het lemma aanvullen en verbeteren.

15

Het Polymath Project, zoals Gowers het noemt, had een specifiek doel: het oplossen van een wiskundig probleem. Maar er was nog een tweede, algemener doel: het doen van wiskundig onderzoek op een manier zoals dat nog nooit eerder gebeurde. Er werd een Polymath blog gemaakt, dat open stond voor iedereen. Overal ter wereld kon je de vorderingen volgen en, als je dat wou, zelf een bijdrage leveren: gedachten formuleren, ideeën toevoegen, of vragen stellen over andermans bijdragen. De blog functioneerde als het ware als een soort collectief geheugen. Nu – bijna een jaar later – blikt Gowers tevreden terug: er is meer uitgekomen dan hij had durven hopen.

Polymath-cartoon

De term ‘polymath’ komt uit het Grieks en heeft niks met wiskunde te maken: een polymath is een soort ‘homo universalis’, zoals bijvoorbeeld Leonardo da Vinci. Afbeelding: Toothpaste for Dinner

De DHJ-stelling

Het specifieke doel van het Polymath Project was om een elementair bewijs te vinden van een speciaal geval van de Density Hales-Jewett Stelling (DHJ), zie het onderstaande kader. Van deze stelling bestaat al langer een bewijs, maar voor wiskundigen zijn bewijzen meer dan ‘garanties op waarheden’. Wiskundigen zoeken soms naar ándere bewijzen, bijvoorbeeld omdat andere bewijzen nieuwe inzichten opleveren die weer bruikbaar kunnen zijn bij een andere stelling, of eenvoudigweg omdat een kort bewijs nu eenmaal eleganter is dan een lang bewijs. Van DHJ bestond alleen een ‘niet-elementair’ bewijs, dat wil zeggen: een bewijs dat gebruik maakt van wiskundige gereedschappen uit gebieden buiten het terrein waarin de stelling zich begeeft.

Density Hales-Jewett Stelling

De stelling die via het Polymath Project is bewezen, komt uit de combinatoriek. Stel, je hebt een alfabet dat uit drie letters bestaat: A, B en C. Deze drie letters vormen de verzameling V. De verzameling van alle vijf-letter-woorden noteren we met V5; zo is bijvoorbeeld het woord AACBA een element van deze verzameling. En CBACBABB is een element van V8.

Kies een woord uit de verzameling V5, zoals AACBA. Vervang ten minste één letter door een asterisk, bijvoorbeeld: A*C*A. Bekijk nu de woorden waarbij op alle asterisken eenzelfde letter staat: AACAA, ABCBA, ACCCA. Deze verzameling van drie woorden heet een combinatorische lijn. Natuurlijk is elke combinatorische lijn een deelverzameling van de gehele verzameling V5. De DHJ-stelling zegt iets over het vóórkomen van combinatorische lijnen in deelverzamelingen: als je de verzameling n-letter-woorden neemt (dus de verzameling Vn), dan geldt dat voor elke ε > 0 en voor voldoend grote waarden van n alle deelverzamelingen van Vn met ten minste ε ⋅ Vn elementen, een combinatorische lijn bevatten.

Natuurlijk hoef je je niet te beperken tot een alfabet met drie letters. De verzameling V kan ook uit 4, 26 of 100 letters bestaan, of – zoals wiskundigen het liefst zien – uit r letters, waarbij r een willekeurig positief geheel getal voorstelt.

Gowers

Timothy Gowers

Het project begon met een post van Gowers op zijn blog, waarin hij een beschrijving van het probleem gaf, links toevoegde naar gerelateerde achtergronden en uitlegde hoe iedereen, waar ook ter wereld, kon deelnemen aan het project. Gowers wilde de drempel laag houden: losse ideetjes die nog niet helemaal uitgewerkt waren, moesten vooral óók gepost worden. Want juist dat zou er toe leiden dat veel mensen erover gaan nadenken.

Op 1 februari werd de aftrap van het samenwerken via het Polymath Project gegeven. De eerste uren gebeurde er niets. Maar na ruim zeven uur kwam de eerste reactie, van Jozsef Solymosi van de universiteit van British Columbia in Vancouver. Een kwartier later reageerde Jason Dyer, een middelbare schoolleraar. Nog eens drie minuten later kwam er een bericht van een van de beroemdste wiskundigen van de jonge generatie: Terence Tao, winnaar van de Fields Medal in 2006, de hoogste onderscheiding in de wiskunde. Toen was duidelijk: het Polymath Project wordt een succes.

De 37 dagen die volgden, verschenen er ongeveer 800 berichten van 27 personen. Niemand daarvan was speciaal uitgenodigd om deel te nemen aan de online discussie: uit eigen beweging, van studenten tot hoogleraren, kwamen er ideeën en oplossingen. Gowers fungeerde als ‘moderator’, maar dat bleek een klusje te zijn dat niet meer was dan het corrigeren van een paar typo’s.

Snel succes

Veel eerder dan iedereen op voorhand had vermoed, was het probleem gekraakt: op 10 maart kondigde Gowers aan dat de deelnemers van Polymath een elementair bewijs hadden gevonden van het speciale geval van de DHJ-stelling. Maar er was meer: het bewijs kon zonder al te veel moeite worden gegeneraliseerd om de volledige DHJ-stelling te bewijzen!

Het Polymath Project bleek niet alleen een vruchtbare methode voor wiskundig onderzoek te zijn, het is ook een interessant kijkje in de keuken voor studenten en wetenschapshistorici en -filosofen. Niet eerder was het zo doorzichtig hóé een resultaat tot stand komt. Het open karakter laat zien hoe snel ideeën groeien, veranderen, verbeterd worden of in de prullenmand belanden. Er zijn ups en downs – ook de beste wiskundigen maken fouten! – en die zijn allemaal te zien. Voor studenten is het volgen van een dergelijk proces veel leerzamer dan het lezen van een gepubliceerd artikel, waarin de oorspronkelijke gedachtengang van begin tot eind niet meer te herkennen is.

Wie krijgt de credits?

Artikel

Op 22 oktober verscheen het artikel met de titel A new proof of the density Hales-Jewett theorem. Er was echter één probleem: op wiens naam staat nu eigenlijk het gevonden bewijs van de DHJ-stelling? Niet alle 27 personen hebben evenveel bijgedragen; moet iemand die één ideetje heeft geopperd en daarna niet meer heeft deelgenomen aan de discussie, ook genoemd worden? Gekozen is voor een pseudoniem: D.H.J. Polymath, met in een voetnoot een link waarin Polymath wordt verklaard.

Zie ook: